Scienza e tecnologia

Gioco d’azzardo – Un uso efficiente delle probabilità

Gioco azzardo

Sfarzosi casinò di lusso, distese di tintinnanti slot machine o più squallide salette da retro bar. Il gioco d’azzardo è molto diffuso e redditizio per i gestori, può essere una divertente esperienza da fare qualche volta nella vita, o una dispendiosa e problematica dipendenza che te la rovina.


Il mio obiettivo in questo articolo è formulare un modello matematico che mi permetta di analizzare in modo oggettivo alcuni giochi d’azzardo molto semplici. Come informazioni preliminari, suppongo che essi non siano truccati, ossia che le probabilità di vincita coincidano con le stime matematiche; e trascuro la “fisica” degli oggetti utilizzati.

Ti pongo una domanda, provando l’ebbrezza di una serata al casinò, come converrebbe comportarsi? Dopo eventuali vincite, conviene abbandonare subito il gioco per non rischiare di perderle o continuare a puntare sperando di gonfiarle?

Approccio delle frequenze

Per affrontare questo problema introduco la definizione di probabilità secondo l’approccio delle frequenze.

Per definirla si seguono i passi:

  1. Dato un esperimento il cui esito è incerto a priori e che può essere diviso in “successo” e “fallimento” (non necessariamente il “successo” è un risultato positivo, ma rappresenta ciò che voglio ottenere dall’esperimento);
  2. Definito un contatore del numero di successi, S;
  3. Eseguendo n esperimenti, la frequenza dei successi è data da S diviso il numero totale di esperimenti. Si nota che la frequenza ha sempre un valore compreso tra 0 e 1 (fn ∈ [0,1]);
  1. Esplicitata la frequenza, si definisce probabilità di un evento “successo”, il limite della frequenza dell’evento per un numero di esperimenti n che tende all’infinito.

Modello matematico di un gioco generico

Descritta la teoria matematica, ora passo a modellizzare un gioco generico.

Chiamo V il successo di un esperimento “gioco”, V ha probabilità Pr(V).

  • Se dall’esperimento risulta V, vinco e incasso una somma F;
  • Se dall’esperimento non risulta V, perdo e pago 1 (anche la perdita può essere una variabile).

Detto n(V) il numero di volte in cui è risultato V (numero di successi), si può esprimere il guadagno del gioco dopo n giocate come:

Di conseguenza, il guadagno medio dopo n giocate, ottenuto dividendo il guadagno per il numero totale di giocate:

Esplicitando la frequenza, può essere riscritto:

Facendo tendere all’infinito il numero di giocate (passare dalla frequenza alla probabilità di vincita):

Applicazione del modello a giochi reali

Roulette francese

La ruolette è composta da 37 numeri: 18 rossi, 18 neri e lo zero di colore neutro. È possibile fare diversi tipi di puntate di valore arbitrario (in questo esempio la puntata, e di conseguenza la perdita è sempre unitaria).

Calcolo il guadagno medio del giocatore per 3 tipi:

  1. Puntata sul colore, rosso o nero, il banco paga la puntata del giocatore;
    F = 1; Pr(V) = 18/37.
  1. Puntata su una dozzina, prima, seconda o terza, il banco paga il doppio della puntata;
    F = 2; Pr(V) = 12/37.
  1. Puntata su un numero singolo, il banco paga 35 volte la puntata.
    F = 35; Pr(V) = 1/37.

Per un numero di puntate molto elevato, il banco vince sempre.
Il “segreto” del gioco è racchiuso nella casella “0”, essa non ha colore e non è puntabile dal giocatore.

Rientra esclusivamente nel calcolo delle probabilità del banco. Infatti, ricalcolando tutti i guadagni medi (del giocatore) escludendo lo zero (36 caselle al posto di 37), esso risulta sempre nullo, cioè non vincerebbe nessuno.

Gratta e vinci

Prendo come esempio un noto gratta e vinci, “Il Miliardario”, dal costo di 5 euro.

Le “probabilità di vincita” sono fissate in fase di produzione e riportate dietro alla schedina (oppure sul sito web di Lottomatica).

Vista la teoria esposta, quelle riportate sono frequenze di vincita; di conseguenza, andrebbe utilizzata l’espressione del guadagno medio prima di applicare il limite.

Commettendo la piccola imprecisione sopraccitata e adattando l’espressione, calcolo il guadagno medio nel caso puntassi ad una vincita di 50 euro. F = 50; Pr(V) = 1/120; Perdita = 5.

Anche per questo gioco, acquistando un numero molto elevato di schedine è inevitabile rimetterci.

Quindi come giocare?

Come dimostrato, le probabilità di vincita sono sempre minori di quelle di vittoria, il guadagno per il giocatore tende ad abbassarsi all’aumentare del numero di giocate, fino ad essere sistematicamente negativo all’infinito. Questa è la forza dei casinò (o della lotteria), che ospitano migliaia di giocatori ogni giorno. Ad ogni improbabile vincita corrispondono decine di praticamente sicure perdite.

La miglior tattica per non rimetterci troppo, dunque, è effettuare poche puntate e ritirarsi immediatamente in caso di vincita.

Gianluca Gentile

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